Os estudos de Newton com as tangentes, Cálculo Diferencial e Integral

Um dos estudos mais revolucionários de Isaac Newton, foi o do Cálculo Diferencial e Integral, que usa conceitos de tangente, que Newton passou a ver de uma maneira diferente, aplicando inclusive na Física.

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As tangentes de Newton


Uma das grandes 'sacadas' de Isaac Newton foi o fato dele usar e abusar da representação de fenômenos naturais na forma gráfica.
Ou seja, é possível passar valores para um plano cartesiano e representar um fenômeno físico.

Por exemplo, se jogarmos um objeto no ar sob um certo ângulo diferente de 0, ele vai descrever uma parábola. Esta curva parabólica pode ser representada em um gráfico, sabendo a velocidade inicial do objeto, o ângulo que lançado e o valor da gravidade local.

Segundo a Matemática, a tangente é uma reta que toca uma dessas curvas em apenas um ponto, sem cortá-la. E o que as tangentes tem de especial?
Por que Newton se dedicou e deu atenção para as tangentes?

Por um motivo especial, que ele notou: a tangente indica uma variação, uma taxa.
Essa inclinação, esse ângulo da reta tangente é chamado de coeficiente angular.
Reta tangente e o Cálculo Diferencial - Biografia de Isaac NewtonVamos agora falar do cálculo diferencial para entender melhor para que raios serve essa tal de tangente, cuja ideia é particularmente simples.

A ideia é simples, mas ela foi usada de forma genial para a criação do cálculo diferencial.
E pasmem, essa mesma ideia boa foi essencial para a criação da teoria da gravitação universal, pois nos fornece uma informação surpreendente sobre o movimento dos astros em torno dos outros.







Newton e o Cálculo Diferencial

Agora vamos voltar para os gráficos que Newton tanto aprendeu a gostar, ao estudar os trabalhos de Descartes. Isso percebeu que se pegássemos um trecho de um gráfico, um trecho bem pequeno, menor ainda, um pouco mais minúsculo...esse pequeno pedaço vai ficando cada vez mais parecido com uma tangente.

Newton chamou essa taxa, esse declive da reta tangente de derivada.
Falando assim, parece meio confuso e não se nota a utilidade, mas vamos usar um exemplo.

Suponto que façamos no gráfico o movimento de um carro, com a posição dele no eixo y e o tempo no eixo x. Esse pode ter QUALQUER CURVATURA, qualquer formato, mas se tirarmos a derivada em qualquer ponto, estaremos obtendo a VELOCIDADE do carro naquele ponto.
Antes isso só era possível em gráficos 'bonitinhos', com função fácil. Usando a ideia das derivadas e tangentes, o gráfico pode ter o formato que for.

Com o cálculo diferencial, pudemos entender um pouco mais a variação de qualquer coisa, em um curto intervalo de tempo, principalmente a variação de coisas complexas.
Por exemplo, a medida que um foguete decola, sua massa de combustível vai mudando, assim o combustível serve para impulsionar uma massa variável.
Podemos tomar a velocidade do foguete traçando seu percurso e tirando a derivada, assim teremos sua velocidade em qualquer local, com a ideia simples de uma tangente.

Na wikipedia encontramos um artigo sobre derivadas que explica em mais detalhes essa importante contribuição de Isaac Newton, que não iremos nos aprofundar muito, pois o foco de nosso portal não é a parte matemática ou técnica da coisa.





Newton e o Cálculo Integral

Se Isaac Newton criou o Cálculo Diferencial, alguns meses depois complementou o assunto criando o Cálculo Integral.
E o que os dois tem a ver?

O Cálculo Integral é o contrário do Cálculo Diferencial.
Assim como a adição está para a subtração, e a multiplicação para a divisão, o Cálculo Integral está para o Diferencial.
Ou seja, se no Diferencial pegávamos um pequeno trecho e diferenciávamos, no Cálculo Integral vamos INTEGRAR, somar, juntar, unir essas minúsculas partes que são os diferenciais.
Biografia completa de Isaac Newton - Resumo, Vida e Obra

Um grande exemplo de uso do cálculo integral foi no cálculo de uma curva qualquer.
Isso mesmo, tendo a função de uma curva, como uma curva parabólica, é possível calcular com TOTAL precisão sua área.

Como exemplo, vamos pegar a curva preta ao lado.
Não é uma figura conhecida, não é algo que se calcula facilmente a área, como em um círculo ou quadrado.

O que fazemos é dividir o eixo x em pedaços pequenos, muito pequenos mesmo. Vamos chamar eles de 'dx'.
Sabemos que para cada ponto 'x', existe um 'y' ou 'f(x)', onde f é a função da curva.

Note que agora temos vários paralelepípedos verdes.
Qual a área de cada um deles? Base x Altura = dx . f(x)

O grande truque agora é somar tudo, ou seja, vamos integrar todas essas pequenas áreas e teremos, com precisão, a área da curva citada.
Por curiosidade, a fórmula da integral de Newton, e mais sobre integral, artigo da Wikipedia sobre Cálculo Integral.

Qual a importância do Cálculo Integral e Diferencial ?

Há tantos, mas tantos usos do Cálculo que é impossível mencionar todos.
Newton deu um rigor e certeza matemática para assuntos novos, sem formalização.

Em qualquer curso de Exatas, em qualquer faculdade do mundo, como em Matemática, Física, Engenharia, Química, Oceanografia etc, é obrigatório o uso do cálculo.
Isso porque podemos trabalhar com valores variáveis, e na vida praticamente nada é constante.

Por exemplo, imagine uma ponte.
As forças que atuam nela variam. Se for nas pontas, ela aguenta determinada pressão.
No centro, aguenta outra força. Quando passa um carro, a ponta é exigida. Se passar uma carreta, ela é ainda mais exigida.

Com o Cálculo Integral e Diferencial podemos calcular esses valores, podemos saber a cada instante e em cada local a força atuando.
Podemos calcular áreas, movimento dos planetas, velocidade de objetos com trajetórias complexas, calcular o consumo no combustível de um avião, de um foguete, de um carro, podemos usar o cálculo diferencial para achar máximos e mínimos.

Por exemplo, se você tiver 30 metros de arame para cercar um terreno, qual o máximo de área que você pode cercar? A resposta dessa pergunta é dada com total certeza e rigor pelo cálculo diferencial.

Suponha que você tenha um pedaço de papelão, como os de caixa de leite, com área fixa.
Qual o formato de caixa você teria que fazer para ele armazenar o máximo possível de leite?
A resposta pode ser dada também pelo cálculo diferencial.

Qual a velocidade de um planeta que gira ao redor do sol, sabendo que a cada instante sua posição é diferente, a força que atua vai mudando, tendo vários outros astros também atuando com forças?
Usamos o cálculo para ter as respostas.

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